前言
一、注意事项
一般是先求\(\omega\)，再求\(\phi\)，个别题目是反序的。求\(A\)放在前面或者后面都可以。
求\(\omega\)，往往需要先求\(T\)，而求\(T\)时，大多利用最值点和零点求解；更一般的是利用\(x_0\)和\(y_0\)的值求解；
如下图，\(\cfrac{T}{2}=x_0+\cfrac{\pi}{4}-x_0=\cfrac{\pi}{4}\)，\(T=\cfrac{\pi}{2}\)，从而\(\omega=4\)；
二、确定步骤
确定\(y=Asin(\omega x+\phi)+b(A>0，\omega>0)\)的步骤：
①求\(A\)和\(b\)；确定函数的最大值为\(M\)，最小值为\(m\)，则\(A=\cfrac{M-m}{2}\)，\(b=\cfrac{M+m}{2}\)，
②求\(\omega\)；
③求\(\phi\)；常用方法有代入法和五点法；
补充说明：
代入法：代入图像上的一个已知点(此时\(A\)，\(\omega\)，\(b\)已知)
五点法：确定\(\phi\)值时，往往以寻找五点法中的某一个点为突破口，具体如下：
“第一点”(即图像上升时与直线\(y=b\)的交点)时，\(\omega x+\phi=0\)；
“第二点”(即图像的峰点)时，\(\omega x+\phi=\cfrac{\pi}{2}\)；
“第三点”(即图像下降时与直线\(y=b\)的交点)时，\(\omega x+\phi=\pi\)；
“第四点”(即图像的谷点)时，\(\omega x+\phi=\cfrac{3\pi}{2}\)；
“第五点”时，\(\omega x+\phi=2\pi\)；
三、给出方式
- \(\omega\)的给出方式
直接给出：函数\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的横坐标缩短为原来的\(\cfrac{1}{3}\)，即新的\(\omega=3\)；
间接给出：\(f(x)=2sin(x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的横坐标扩大了\(2\)倍，即图像的横坐标扩大为原来的\(3\)倍，即新的\(\omega=\cfrac{1}{3}\)；
间接给出：\(f(x)=2tan\omega x(\omega>0)\)的图像的相邻两支截直线\(y=2\)所得的线段长为\(\cfrac{\pi}{2}\)，即\(T=\cfrac{\pi}{\omega}=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\omega=2\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两个最高(低)点之间的距离是3，即\(T=3\)，求得\(\omega=\cfrac{2\pi}{3}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的最高点和最低点之间的距离是5，由勾股定理求得\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两个零点之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两条对称轴之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻对称轴和零点之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{4}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{6}\)；
间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的最高点和零点之间的距离是\(2\sqrt{2}\)，由勾股定理求得\(\cfrac{T}{4}=2\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{4}\)；
- \(\phi\)的给出方式
四、典例剖析
例1【2018广东茂名一模】【有图情形】
已知函数\(f(x)＝Asin(\omega x+\phi)(A＞0，\omega> 0，0＜\phi＜\pi)\)，其导函数的图象\(f′(x)\)如图所示，则\(f(\cfrac{\pi}{2})\)＝【】
分析：由于\(f'(x)=\omega Acos(\omega x+\phi)\)，由\(\cfrac{T}{4}=\cfrac{3\pi}{2}-\cfrac{\pi}{2}=\pi\)，故\(T=4\pi\)，故\(\omega=\cfrac{2\pi}{4\pi}=\cfrac{1}{2}\)，
又由图可知，\(\omega A=\cfrac{1}{2}A=2\)，故\(A=4\)，又由图\(f'(\cfrac{\pi}{2})=0=2cos(\cfrac{1}{2}\times \cfrac{\pi}{2}+\phi)\)，即\(\cfrac{\pi}{4}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，故\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{4}\)，令\(k=0\)，即\(\phi=\cfrac{\pi}{4}\in (0,\pi)\)，
故函数\(f(x)=4sin(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{4})\)，则\(f(\cfrac{\pi}{2})=4\)，故选\(D\)。
例2【2019高三理科数学二轮资料用题】【有图情形】
已知函数\(f(x)＝Atan(\omega x＋\phi)\)，其中\(\omega ＞0\)，\(|\phi|＜\cfrac{\pi}{2}\)，\(y＝f(x)\)的部分图象如图，则\(f(\cfrac{\pi}{24})\)＝__________.
分析：由图可知，\(\cfrac{T}{2}=\cfrac{3\pi}{8}-\cfrac{\pi}{8}=\cfrac{\pi}{4}\)，则\(T=\cfrac{\pi}{2}\)，故\(\omega=\cfrac{\pi}{T}=2\)，
又当\(x=\cfrac{3\pi}{8}\)时，\(2\times \cfrac{3\pi}{8}+\phi=k\pi\)，\(k\in Z\)，则\(\phi=k\pi-\cfrac{3\pi}{4}\)，
令\(k=1\)，则\(\phi=\pi-\cfrac{3\pi}{4}=\cfrac{\pi}{4}\in (-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2})\)，又\(x=0\)时，\(y=1\)，
即\(Atan(2\times 0+\cfrac{\pi}{4})=1\)，故\(A=1\)，即\(f(x)=tan(2x+\cfrac{\pi}{4})\)，
故\(f(\cfrac{\pi}{24})=tan(2\times \cfrac{\pi}{24}+\cfrac{\pi}{4})=\sqrt{3}\)。
例3【无图情形】【2018届湖南衡阳八中第二次月考】
已知函数\(y＝sin(ωx＋φ)\) \((ω>0，0<φ<π)\)的最小正周期为\(π\)，且函数图象关于点\((-\cfrac{3\pi}{8}，0)\)对称，则该函数的解析式为________．
分析：由于函数\(y＝sin(ωx＋φ)\)的最小正周期为\(π\)，故\(\omega=2\)，又图象关于点\((-\cfrac{3\pi}{8}，0)\)对称，
则\(2\times (-\cfrac{3\pi}{8})+\phi=k\pi\)，故\(\phi=k\pi+\cfrac{3\pi}{4}\)，\(k\in Z\) ,
当\(k=0\)时，\(\phi=\cfrac{3\pi}{4}\in (0,\pi)\)，故解析式为\(y=sin(2x+\cfrac{3\pi}{4})\).